Didacticiel — SPC avancé
Cartes CUSUM, EWMA & Western Electric
Les cartes Shewhart ±3σ détectent bien les gros défauts, mais restent aveugles aux petits décalages persistants (< 1 σ). CUSUM et EWMA sont conçues pour ces cas — elles alertent plusieurs dizaines de points avant Shewhart. Couplées aux 8 règles Western Electric étendues (zones A/B/C, runs, trends, hugging), elles forment un arsenal SPC complet. Importez votre série : vous voyez les trois cartes côte à côte, les règles déclenchées point par point, et l'interprétation métier. 100% navigateur via Pyodide.
1. Shewhart X̄/R — rappel et angles morts
La carte Shewhart (1924) est le pilier du SPC : on trace les mesures (ou la moyenne de sous-groupes) au cours du temps, avec une ligne centrale et deux limites de contrôle à ±3 σ. Un point hors limites = alarme.
UCL = μ + 3σ · LCL = μ − 3σ · α ≈ 0.27 %
Sous H0 (processus en contrôle), P(point hors limites) = 0.27 % — taux de faux positifs maîtrisé.
La carte voit bien les shifts de grande amplitude (> 2 σ) et les dispersions soudaines. Mais elle a trois angles morts majeurs :
- Petits shifts persistants (< 1 σ) — la loi normale n'atteint ±3σ qu'avec une faible probabilité. Pour un shift de +0.5 σ, l'ARL (Average Run Length = nombre moyen de points avant alerte) est ≈ 155 points. Un dérapage outil peut saboter 150 pièces avant la première alarme.
- Drifts linéaires (usure progressive, colmatage filtre) — chaque point individuel reste dans ±3σ, seule la moyenne glisse lentement.
- Patterns temporels (runs, trends, hugging, cyclicité) — Shewhart analyse chaque point indépendamment, elle ne « voit » pas les séquences.
Les règles Western Electric (§4) comblent partiellement le 3ᵉ angle mort. CUSUM et EWMA (§2 et §3) sont conçues pour les deux premiers.
2. CUSUM — sommes cumulées pour détecter les petits shifts
La carte CUSUM (Page, 1954) cumule les écarts à une cible. Si le processus dérive même légèrement, les petits écarts s'additionnent et franchissent rapidement un seuil. C'est l'outil de référence pour les shifts 0.5 σ à 1.5 σ.
Formulation tabular (deux-côtés)
C⁺i = max(0, C⁺i−1 + (xi − μ₀ − K))
C⁻i = max(0, C⁻i−1 − (xi − μ₀) − K)
Alarme si C⁺ > H ou C⁻ > H. K = « reference value » (souvent 0.5 σ), H = « decision interval » (typiquement 4σ à 5σ).
Choisir K et H
- K = moitié du shift à détecter. Pour détecter un shift de 1σ, prendre K = 0.5 σ. K trop grand → CUSUM aveugle aux petites dérives. K trop petit → trop de faux positifs.
- H contrôle le taux de fausses alertes. Avec K = 0.5 σ, H = 4 σ donne un ARL₀ (processus stable) ≈ 168 points. H = 5 σ → ARL₀ ≈ 465. Montgomery recommande H = 4 σ à 5 σ selon la tolérance aux fausses alertes.
Quand l'utiliser
CUSUM est idéale pour les shifts en marche d'escalier (changement de lot matière, usure brutale, nouveau régleur). Elle est sous-optimale pour les drifts continus (préférer EWMA) et pour les shifts > 3 σ (Shewhart détecte en 1-2 points).
3. EWMA — moyenne mobile exponentiellement pondérée
La carte EWMA (Roberts, 1959) lisse la série par une moyenne mobile où chaque point récent pèse plus que les anciens. Formellement :
zi = λ · xi + (1 − λ) · zi−1
λ ∈ (0, 1] = constante de lissage. z₀ = μ₀ = cible. Les limites sont ±L σz avec σz = σ · √(λ / (2−λ)) (asymptotique) et L ≈ 2.7 à 3.0.
Choisir λ
- λ petit (0.05–0.10) — forte mémoire, lissage intense, très sensible aux petits shifts persistants. Mais retard de détection sur les gros shifts.
- λ moyen (0.15–0.25) — compromis recommandé. Sensible aux shifts 0.5-1.5 σ, temps de détection correct.
- λ grand (0.40+) — EWMA se comporte comme Shewhart. Peu d'intérêt par rapport à la carte classique.
Règle de Montgomery : pour détecter un shift de δ σ, choisir λ ≈ 0.05 si δ = 0.5 ; λ ≈ 0.10 si δ = 1 ; λ ≈ 0.20 si δ = 2.
CUSUM vs EWMA — comment choisir
| Situation | Carte recommandée |
|---|---|
| Shift en marche d'escalier (brusque, persistant) | CUSUM |
| Drift linéaire (usure, colmatage) | EWMA |
| Processus continu à surveillance longue | EWMA (auto-actualisation) |
| Détection optimale 0.5–1.5 σ | CUSUM ≈ EWMA (les deux) |
| Shifts > 3 σ | Shewhart (CUSUM/EWMA inutiles) |
| Production courte / début de série | CUSUM (moins dépendante de la cible) |
Bonne pratique : superposer Shewhart + CUSUM + EWMA. Les trois cartes sont complémentaires, pas redondantes. Dans ce didacticiel, les trois sont affichées simultanément.
4. Western Electric — 8 règles étendues (zones A/B/C)
Les règles Western Electric (AT&T Statistical Quality Control Handbook, 1956) et leurs extensions (Nelson 1984, Champ-Woodall 1987) définissent des patterns temporels qui complètent la règle « point hors ±3σ ». Elles se lisent sur une carte Shewhart divisée en zones A, B, C :
Zone A : [±2σ, ±3σ] · Zone B : [±1σ, ±2σ] · Zone C : [μ, ±1σ]
Zones symétriques de part et d'autre de la ligne centrale.
Les 8 règles étendues
| N° | Règle | Détecte |
|---|---|---|
| 1 | 1 point hors ±3σ | Shift brutal > 3σ ou événement ponctuel |
| 2 | 9 points consécutifs du même côté de la ligne centrale | Shift modéré (biais persistant) |
| 3 | 6 points consécutifs monotoniquement croissants ou décroissants | Drift / trend |
| 4 | 14 points consécutifs alternants (haut/bas) | Cyclicité / sur-contrôle |
| 5 | 2 parmi 3 points consécutifs en zone A du même côté | Shift modéré amorçé |
| 6 | 4 parmi 5 points consécutifs en zone B ou au-delà, du même côté | Petit shift persistant |
| 7 | 15 points consécutifs dans la zone C (hugging) | Stratification / σ surestimé |
| 8 | 8 points consécutifs hors de la zone C (aucun dans [−1σ, +1σ]) | Mélange / bimodalité |
Probabilités sous H0
Sous hypothèse nulle (processus stable, normalement distribué), chaque règle a une probabilité faible de se déclencher. Exemple : règle #2 (9 points du même côté) ⟹ P = (1/2)⁹ = 1/512 ≈ 0.2 %. Alpha empilé : appliquer les 8 règles simultanément gonfle le risque de faux positif — typiquement α cumulé ≈ 1 à 2 %. C'est à peser selon la tolérance aux arrêts machine injustifiés.
Pièges classiques
- σ surestimé → toutes les règles déclenchent plus facilement. Si votre σ est calculé sur une période longue incluant des shifts, il est surestimé. Recalculer sur sous-groupes stables (moving range).
- Stratification → règle #7 (hugging) se déclenche systématiquement. Signal que les données ne sont pas homogènes (mélange de plusieurs sources).
- Sur-contrôle → règle #4 (alternance) se déclenche quand l'opérateur « corrige » à chaque point. Classique, forme d'instabilité humaine.
5. Quel outil quand — tableau de décision
Synthèse pragmatique pour choisir la carte selon votre contexte. Dans le doute, afficher les trois cartes simultanément (c'est ce que fait le didacticiel).
| Contexte | Shewhart + WE | CUSUM | EWMA |
|---|---|---|---|
| Shift brutal > 2σ (panne, changement lot) | ★★★ | ★★ | ★★ |
| Petit shift persistant 0.5–1.5σ (usure outil, dérive capteur) | ★ | ★★★ | ★★★ |
| Drift linéaire lent (colmatage, vieillissement) | ★ | ★★ | ★★★ |
| Cycles temporels (shifts 3×8, saisonnalité) | ★★ (WE #4, #8) | ★ | ★★ |
| Pattern stratification (mélange 2 sources) | ★★★ (WE #7) | ★ | ★ |
| Process discret (sous-groupes n=5) | ★★★ (X̄/R) | ★★ | ★★ |
| Process continu (mesure individuelle) | ★★ (I-MR) | ★★★ | ★★★ |
| Phase 1 (caractériser le processus) | ★★★ | ★ | ★ |
| Phase 2 (monitorer en routine) | ★★ | ★★★ | ★★★ |
| Besoin de robustesse aux outliers | ★★ (X̄/R) | ★ | ★★ |
Recommandation opérationnelle : en Phase 1 (caractérisation), utiliser Shewhart + Western Electric pour identifier les causes assignables. En Phase 2 (monitoring routine), déployer CUSUM ou EWMA pour la détection précoce. Les cartes modernes (MES, GrafanaQ) affichent souvent les trois simultanément.
6. ARL — Average Run Length, la métrique qui compte
L'ARL (Average Run Length) est le nombre moyen de points avant une alarme. Deux ARL à considérer :
- ARL₀ — ARL sous H0 (processus stable). Mesure le taux de fausses alertes.
- ARL₁ — ARL sous H1 (shift de δ σ). Mesure la vitesse de détection.
On veut ARL₀ élevé (peu de fausses alertes) et ARL₁ faible (détection rapide). Comparaison à δ = 1 σ :
| Carte | ARL₀ | ARL₁ (δ=1σ) |
|---|---|---|
| Shewhart ±3σ | 370 | 44 |
| Shewhart + 8 règles WE | ~90 | ~11 |
| CUSUM (K=0.5σ, H=4σ) | 168 | 8.4 |
| CUSUM (K=0.5σ, H=5σ) | 465 | 10.4 |
| EWMA (λ=0.10, L=2.7) | ~500 | ~10 |
| EWMA (λ=0.25, L=3.0) | ~500 | ~12 |
Lecture : avec ARL₁ = 44 pour Shewhart seul, un shift de 1σ est détecté en moyenne au 44ᵉ point. Avec CUSUM bien paramétrée, en 8-10 points. 5× plus rapide.
Ajouter les 8 règles WE à Shewhart divise l'ARL₀ par ~4 (plus de fausses alertes) mais gagne aussi en sensibilité. Montgomery (2020, ch. 9) recommande la combinaison Shewhart+1,2,5,6 comme compromis (ARL₀ ~250, ARL₁ ~15).
7. Prérequis — sigma estimé correctement (R&R + normalité)
Toutes les cartes SPC (Shewhart, CUSUM, EWMA) supposent que σ est bien estimé et que les mesures sont normalement distribuées (indépendantes entre elles).
σ bien estimé
Avant le SPC : faire une étude R&R (Gauge R&R, voir didacticiel MSA) pour vérifier que le système de mesure ne contribue pas majoritairement au σ observé. Si %Study Variation > 30 %, le σ est dominé par le bruit de mesure — SPC inutile.
Estimer σ sur sous-groupes stables (moving range sur période courte, pas variance globale) pour éviter la surestimation.
Normalité
Si les données sont fortement non-normales (asymétrie, queue lourde), les limites ±3σ ne correspondent plus au 99.73 %. Solutions :
- Transformer les données (log, Box-Cox).
- Utiliser des cartes non-paramétriques (percentiles empiriques).
- Accepter un α différent, documenter.
Indépendance
L'autocorrélation (cas des process continus : température bain, niveau cuve) brise le calcul d'ARL. Contre-mesure : cartes résiduelles (fit un modèle ARIMA, monitorer les résidus qui eux sont blancs).
Votre série temporelle
Format CSV, une ligne par mesure : t,mesure (ou colonne mesure seule,
l'index sera auto-généré). Le didacticiel calcule Shewhart, CUSUM, EWMA et les 8 règles
Western Electric. Cible et σ à renseigner dans le panneau de droite.
Séparateurs acceptés : virgule, point-virgule, tabulation. Colonnes : t, mesure (ou mesure seule).
Paramètres & actions
Issu d'une étude R&R ou estimé sur période stable. Si vide, calculé automatiquement.
Demi-shift à détecter. 0.5 σ = standard.
Seuil de décision. 4-5 σ = standard.
0.05–0.10 = haute sensibilité. 0.20–0.25 = compromis.
L ≈ 2.7–3.0 pour ARL₀ ≈ 500.
Protocole SPC avancé
- σ de référence stable — issu d'une étude R&R validée. Jamais recalculer sur données incluant des shifts.
- Cible connue — souvent le nominal de la gamme. Si flottante, CUSUM inadaptée (utiliser EWMA).
- Mesure individuelle — dans ce didacticiel. Pour sous-groupes n>1, basculer sur la carte Xbar/R.
- Afficher les 3 cartes — ne jamais choisir aveuglément. La convergence des alertes augmente la confiance.
- Documenter K, H, λ, L dans votre plan de surveillance.
Exercices guidés
Chaque exercice correspond à un cas industriel réel, avec série prête à charger et interprétation corrigée. Travaillez l'analyse avant de cliquer sur la solution.
facile Usinage EX1 — Shift lent 0.5σ — Shewhart aveugle
Contexte. Diamètre d'un alésage sur centre d'usinage. Cible 50 mm, σ = 1.0 mm (issu d'une étude R&R stable). 200 mesures individuelles. À t=100, l'outil commence à s'user : décalage moyen de +0.5σ que l'opérateur ne voit pas sur sa carte X̄ classique.
Question. La carte Shewhart ±3σ détecte-t-elle ce shift ? Comparer avec CUSUM (K=0.5σ, H=4σ) et EWMA (λ=0.15). Quelle carte aurait alerté en premier ?
Voir la solution
Résultat attendu : ~200 points · carte préconisée : CUSUM · Détection : CUSUM ~t=118, EWMA ~t=125, Shewhart = jamais · Verdict dégradé
Interprétation. Le shift à +0.5σ ne sort jamais des limites ±3σ (ARL Shewhart ≈ 155 points pour ce décalage). La carte CUSUM le détecte vers t=118 (18 points après). L'EWMA suit vers t=125. Toutes deux battent Shewhart de plus de 50 points. Sur un processus usinage où chaque dérive = lot hors tolérance, c'est la différence entre rebut massif et alerte précoce.
Piège à éviter. Penser que Shewhart « ±3σ suffit car il n'y a pas d'alarme ». L'absence d'alarme sur un petit shift n'est pas une preuve de stabilité — c'est un angle mort statistique. Toujours doubler par CUSUM ou EWMA pour les shifts < 1.5σ.
intermédiaire Usinage EX2 — Drift progressif — usure outil
Contexte. Fraisage continu d'une pièce aluminium. Cote contrôlée 100 mm, σ = 2 mm. 180 pièces consécutives. À partir de la pièce n°90, la plaquette carbure s'use progressivement : dérive de +0.05 mm par pièce.
Question. Shewhart alerte-t-elle avant que la cote sorte des tolérances ? CUSUM et EWMA battent-elles Shewhart ? Quel λ pour EWMA ?
Voir la solution
Résultat attendu : ~180 points · carte préconisée : EWMA · Détection : EWMA λ=0.15 ~t=115, CUSUM ~t=120, Shewhart ~t=145 · Verdict critique
Interprétation. Le drift cumulatif fait sortir la moyenne de +4.5 mm (2.25σ) en 90 points. EWMA lissée réagit vite car chaque point tire la moyenne dans la direction du drift. CUSUM aussi, mais moins adapté aux drifts continus (conçue pour shifts en marche d'escalier). Shewhart finit par alerter au point 145 — trop tard : 55 pièces douteuses entre t=90 et t=145. EWMA est le meilleur choix pour les drifts linéaires.
Piège à éviter. Utiliser CUSUM sur un drift linéaire. CUSUM est optimale pour un shift en marche d'escalier (usure brutale, changement de lot matière). Pour une dérive continue, EWMA est plus naturelle.
intermédiaire Injection plastique EX3 — Trend 7 points — règle Western Electric #3
Contexte. Température d'un moule d'injection, cible 20°C (delta après refroidissement), σ = 0.5°C. 160 points à 1 Hz. À t=110, le régulateur commence à dériver : 7 points consécutifs croissants avant retour.
Question. La règle WE #3 (6 points croissants ou décroissants consécutifs) se déclenche-t-elle ? Combien de points avant les règles classiques ?
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Résultat attendu : ~160 points · carte préconisée : Shewhart · Détection : Règle WE #3 à t=115, points hors limites jamais atteints · Verdict acceptable
Interprétation. La règle WE #3 « 6 points consécutifs monotoniquement croissants ou décroissants » est conçue précisément pour ce type de signal. Le trend à partir de t=110 déclenche la règle à t=115 (après 6 points croissants). Les limites ±3σ ne sont jamais atteintes (amplitude trop faible). Les 8 règles WE étendues ajoutent une sensibilité majeure à Shewhart sans changer la carte — il suffit d'analyser les patterns.
Piège à éviter. Ignorer les règles runs/trends parce que « aucun point n'est hors limites ». Le pattern temporel est une information à part entière — une série de 7 points montants est statistiquement improbable (P ≈ 1/5040 sous H0).
avancé Emballage EX4 — Stratification 2 machines — pattern caché
Contexte. Ligne avec 2 machines parallèles (M1, M2) dont les pièces sont alternativement échantillonnées. Cible 75 mm, σ = 1.5 mm. M1 est réglée +0.2σ, M2 -0.2σ. Résultat : les points oscillent artificiellement près du centre (« hugging »).
Question. La règle WE #7 « 15 points consécutifs dans la zone C » (hugging) se déclenche-t-elle ? Pourquoi est-ce une alerte critique ?
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Résultat attendu : ~200 points · carte préconisée : Shewhart · Détection : Règle WE #7 (hugging) à t=15+ · Verdict dégradé
Interprétation. La stratification (deux sources mélangées) est un piège classique SPC. Chaque source a un σ plus petit que le σ global, donc les points restent artificiellement près du centre (zone C = ±1σ). Règle WE #7 : 15 points consécutifs en zone C indiquent soit une stratification, soit un σ global surestimé. Parade : ventiler les mesures par machine avant de construire la carte. Sinon on ne verra jamais l'écart entre les deux sources.
Piège à éviter. Se réjouir d'un « processus très centré » alors que c'est un artefact de mélange. Une carte qui ne sort jamais de zone C est suspecte. Toujours vérifier la stratification sur processus multi-sources.
avancé Production 24/7 EX5 — Cycle 3×8 — runs alternants
Contexte. Cote dimensionnelle mesurée toutes les heures sur 8 jours (192 points). Cible 40 mm, σ = 0.8 mm. L'opérateur A (matin) règle la machine +0.3σ, l'opérateur C (nuit) -0.25σ, B (après-midi) reste centré. Cycles de 24h.
Question. Les règles WE classiques voient-elles ce cycle ? Quelle règle est la plus sensible aux cycles (WE #8) ? Comment le confirmer ?
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Résultat attendu : ~192 points · carte préconisée : CUSUM+EWMA · Détection : WE #8 (14 points alternants) + runs-tests · Verdict dégradé
Interprétation. Le pattern cyclique est difficile à détecter sur Shewhart seul : les points restent souvent dans les ±2σ. La règle WE #8 « 14 points consécutifs alternants » est spécifiquement conçue pour ce cas. Une EWMA avec λ faible (0.05) lisse les cycles et révèle le biais moyen. Mais l'analyse runs-test (Wald-Wolfowitz) est le test formel : nombre de runs observés << attendu = cycles significatifs. Contre-mesure : standardiser le réglage inter-poste.
Piège à éviter. Attribuer les cycles à « la variabilité naturelle » sans investiguer. Un cycle avec fenêtre de 24h a 99% de chances d'être une cause humaine (relève, réglage subjectif, métrologie utilisée par un seul poste). Poser les bonnes questions : qui règle ? à quelle heure ?
facile Laminage EX6 — Shift abrupt 2σ — CUSUM bat Shewhart de 3 points
Contexte. Épaisseur d'une bande de métal laminée. Cible 25 mm, σ = 0.2 mm. 150 points. À t=80, un rouleau est changé : shift brutal de +2σ (0.4 mm).
Question. Shewhart ±3σ alerte-t-elle vite ? CUSUM plus tôt ? De combien de points ?
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Résultat attendu : ~150 points · carte préconisée : CUSUM · Détection : CUSUM ~t=84, Shewhart ~t=90 · Verdict dégradé
Interprétation. Un shift de 2σ est dans la zone d'efficacité de Shewhart (ARL ≈ 6 points) — elle alerte vers t=86-90. CUSUM (K=1σ, H=4σ) alerte vers t=84, gagnant 3-4 points. Pour 2σ, l'écart est faible mais réel. L'intérêt de CUSUM croît fortement pour les shifts 0.5-1.5σ (où Shewhart a des ARL de 50-200).
Piège à éviter. Croire que CUSUM est toujours meilleure. Pour un shift > 3σ, Shewhart détecte en 1-2 points et CUSUM n'apporte rien. Choisir la carte selon la taille du shift à détecter, pas par principe.
intermédiaire Contrôle dimensionnel EX7 — Zone A — règle WE #5
Contexte. Diamètre d'un axe rectifié. Cible 10 mm, σ = 0.3 mm. 170 points. Deux points atteignent 2.3σ et 2.4σ à t=120 et t=122 (séparés d'un point dans les limites).
Question. La règle WE #5 « 2 parmi 3 points consécutifs en zone A (>2σ) » se déclenche-t-elle ? À quel point ?
Voir la solution
Résultat attendu : ~170 points · carte préconisée : Shewhart · Détection : WE #5 à t=122 · Verdict acceptable
Interprétation. La règle WE #5 compte 2 points parmi 3 consécutifs au-delà de ±2σ du même côté. Les points à t=120 et t=122 satisfont la condition, même si t=121 est revenu vers le centre. La règle se déclenche à t=122. C'est un signal précoce avant qu'un point ne sorte à ±3σ.
Piège à éviter. Ne regarder que les points hors limites. Les règles WE #5 et #6 (4 parmi 5 en zone B) détectent la probabilité élevée d'une dérive amorcée, pas une défaillance consommée.
intermédiaire Process continu EX8 — Over-control — 9 points même côté
Contexte. Mesure de viscosité d'un bain chimique. Cible 200 cP, σ = 3 cP. 150 points. À t=90, 9 points consécutifs au-dessus de la cible avant retour.
Question. La règle WE #2 (9 points du même côté — AT&T 1956) se déclenche-t-elle ? Que signifie-t-elle physiquement ?
Voir la solution
Résultat attendu : ~150 points · carte préconisée : Shewhart · Détection : WE #2 à t=98 · Verdict acceptable
Interprétation. 9 points consécutifs du même côté de la moyenne ont une probabilité P = 1/512 ≈ 0.2% sous H0 (processus centré). La règle alerte à t=98. Physiquement, cela signale un biais systémique : décalage de la cible réelle, erreur d'étalonnage, nouveau lot matière. Même si aucun point n'est hors limites, le processus n'est plus centré — action corrective requise.
Piège à éviter. Accepter un décalage persistant comme « acceptable car dans les tolérances ». Un biais de 0.5σ laisse de la marge aujourd'hui mais consomme du budget de variabilité qu'on paiera au prochain incident. Recentrer dès que la règle #2 alerte.
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