Guide pédagogique
Guide enseignant — Didacticiel SPC avancé (CUSUM, EWMA, Western Electric étendu)
Destiné aux responsables qualité et formateurs Six Sigma niveau Black Belt. Ce document accompagne le didacticiel interactif SPC avancé pour une séance de 2 heures, CUSUM et EWMA à l'appui.
1. Objectifs pédagogiques
À l’issue de la séance, le participant doit être capable de :
- Reconnaître les angles morts de la carte Shewhart ±3σ (petits shifts, drifts, patterns).
- Construire une carte CUSUM tabular et choisir K et H pour un shift donné.
- Construire une carte EWMA et choisir λ et L selon la sensibilité souhaitée.
- Identifier les 8 règles Western Electric étendues et leur probabilité sous H0.
- Comparer ARL₀ et ARL₁ pour choisir la carte adaptée.
- Diagnostiquer une stratification, une bimodalité, un sur-contrôle via les règles WE.
- Justifier le paramétrage (K, H, λ, L) dans un plan de surveillance qualité.
- Éviter les 6 pièges classiques (K trop élevé, λ = 0.4 = Shewhart, alpha empilé, σ surestimé, etc.).
2. Prérequis
- Notions de SPC de base : carte Shewhart X̄/R, Cp/Cpk (voir didacticiel Capabilité + SPC).
- Compréhension d’une distribution normale et de la règle 68-95-99.7.
- Notions d’ARL (Average Run Length) — optionnel, rappel en phase 3.
Aucun prérequis informatique — le didacticiel tourne dans le navigateur.
3. Plan de séance — 2 heures
| Temps | Phase | Contenu |
|---|---|---|
| 0 – 15 min | Phase 1 — Limites de Shewhart | Rappel carte X̄/R, règle ±3σ, α = 0.27 %. Trois angles morts : petits shifts persistants, drifts, patterns temporels. Exemple numérique : ARL pour shift 0.5σ = 155 points. Démo visuelle sur EX1. |
| 15 – 40 min | Phase 2 — CUSUM | Origine Page 1954 (séquentielle → cumulative). Formulation tabular C⁺, C⁻. Choix K = demi-shift à détecter. Choix H = 4σ-5σ selon tolérance faux positifs. Démo EX1 (shift 0.5σ) : CUSUM alerte à t=118, Shewhart jamais. |
| 40 – 55 min | Phase 3 — EWMA | Origine Roberts 1959. Formulation récursive z_i = λx_i + (1-λ)z_{i-1}. Variance asymptotique σ²λ/(2-λ). Choix λ selon shift cible (Montgomery). Démo EX2 (drift linéaire) : EWMA bat CUSUM et Shewhart. |
| 55 – 60 min | Pause | — |
| 60 – 90 min | Phase 4 — Western Electric 8 règles étendues | AT&T 1956 + Nelson 1984 + Champ-Woodall 1987. Zones A/B/C. Probabilité sous H0 de chaque règle. Alpha empilé (typ. 1-2 %). Démo EX3 (trend 7 pts) et EX4 (hugging). |
| 90 – 105 min | Phase 5 — ARL & paramétrage | ARL₀ vs ARL₁. Tableau comparatif Shewhart / Shewhart+WE / CUSUM / EWMA. Règle pratique : Phase 1 = Shewhart + WE, Phase 2 = CUSUM/EWMA. Exercice libre : paramétrer K, H, λ, L sur EX5. |
| 105 – 120 min | Phase 6 — QCM & synthèse | QCM 10 questions. Correction plénière. Rappel des 6 pièges. Discussion déploiement atelier. |
4. CUSUM — construction et paramétrage (Phase 2 — clé)
Formulation tabular (standard industriel)
C⁺[0] = 0, C⁻[0] = 0
Pour chaque nouvelle mesure x_i :
C⁺[i] = max(0, C⁺[i-1] + (x_i - μ₀ - K))
C⁻[i] = max(0, C⁻[i-1] - (x_i - μ₀) - K)
Alarme si C⁺[i] > H ou C⁻[i] > Hoù :
- μ₀ est la cible (valeur nominale)
- K = « reference value » ≈ demi-shift à détecter (exprimé dans les mêmes unités que x)
- H = « decision interval » = seuil d’alarme
Règle pratique pour K
| Shift à détecter (σ) | K recommandé |
|---|---|
| 0.5 σ | 0.25 σ |
| 1.0 σ | 0.5 σ |
| 1.5 σ | 0.75 σ |
| 2.0 σ | 1.0 σ |
Remarque : K s’exprime souvent en fraction de σ pour la portabilité. H = 4σ à 5σ reste standard.
Visualisation au tableau
C+ (positif)
│
H ├──────────── seuil alerte
│ ╱
│ ╱
│ ╱
│ ╱
0 └────────────────── temps
│ ╲
│ ╲
H ├──────────── seuil alerte (symétrique)
C-Quand le processus est en contrôle (shifts aléatoires autour de 0), C⁺ et C⁻ restent proches de 0 grâce à l’effet « max(0, …) ». Dès qu’un shift persistant apparaît, C⁺ ou C⁻ monte régulièrement et franchit H.
Masque V — visualisation alternative
Historiquement, CUSUM se représente aussi avec un « masque V » rétrograde (Barnard 1959). Même information que le tabular, mais moins pratique en temps réel. Le tabular domine en pratique.
5. EWMA — construction et paramétrage (Phase 3)
Formulation récursive
z_0 = μ₀
Pour chaque nouvelle mesure x_i :
z_i = λ · x_i + (1 - λ) · z_{i-1}
Limites :
σ_z[i] = σ · sqrt((λ/(2-λ)) · (1 - (1-λ)^(2i)))
UCL[i] = μ₀ + L · σ_z[i]
LCL[i] = μ₀ - L · σ_z[i]
Alarme si z_i > UCL[i] ou z_i < LCL[i]En pratique, on utilise souvent la variance asymptotique σ²λ/(2-λ) (approximation valide après ~20 points).
Règle pratique pour λ
| Shift à détecter (σ) | λ recommandé | L recommandé |
|---|---|---|
| 0.5 σ | 0.05 | 2.5 |
| 1.0 σ | 0.10 | 2.7 |
| 1.5 σ | 0.15 | 2.9 |
| 2.0 σ | 0.25 | 3.0 |
| 2.5 σ + | 0.40+ | 3.0 |
Pour λ → 1, EWMA devient Shewhart. Ne pas dépasser λ = 0.4 sans raison (perd l’intérêt du lissage).
EWMA vs CUSUM — critères de choix
Shift BRUTAL (marche d'escalier) → CUSUM
Shift CONTINU (drift linéaire) → EWMA
Processus continu (temp., press.) → EWMA (auto-actualisation)
Petits shifts 0.5-1.5 σ → Les deux (ARL ≈ 10)
Process discret sous-groupes → Shewhart X̄/R + WE6. Western Electric — les 8 règles étendues (Phase 4)
Les règles
- Un point hors ±3σ — Shift brutal ou événement isolé
- 9 points consécutifs du même côté — P = 1/512 sous H0, indique biais persistant
- 6 points monotones consécutifs — Drift amorcé
- 14 points alternants — Cyclicité ou sur-contrôle
- 2/3 points en zone A (> 2σ) même côté — Shift modéré en émergence
- 4/5 points en zone B ou au-delà (> 1σ) même côté — Petit shift persistant
- 15 points consécutifs en zone C — Hugging = stratification suspectée
- 8 points consécutifs hors zone C — Mélange / bimodalité
Interprétation physique
| Règle | Cause probable |
|---|---|
| R1 | Gros défaut ponctuel (panne capteur, choc, erreur saisie) |
| R2 | Biais cible (étalonnage, lot matière, nouveau régleur) |
| R3 | Usure outil, colmatage, vieillissement consommable |
| R4 | Sur-contrôle opérateur (correction à chaque point), sélection alternée |
| R5 | Shift modéré amorçé — précurseur de R1 |
| R6 | Petit shift persistant — compléter avec CUSUM |
| R7 | Stratification (mélange 2+ sources), σ surestimé |
| R8 | Bimodalité (deux populations mélangées) |
Alpha empilé — attention
Chaque règle est un test à faible α. Mais combiner les 8 fait exploser le risque de faux positif :
- Shewhart seule : ARL₀ = 370 → α ≈ 0.27 %
- Shewhart + R1-R8 : ARL₀ ≈ 90 → α ≈ 1.1 %
Recommandation Montgomery (2020) : utiliser R1 + R2 + R5 + R6 comme compromis (ARL₀ ≈ 250, sensibilité accrue sans explosion des alertes).
7. ARL — Average Run Length (Phase 5)
Définition formelle
L’ARL est l’espérance du nombre d’échantillons avant la première alarme. Pour Shewhart ±3σ :
ARL₀ = 1 / P(alarme | processus stable) = 1 / 0.0027 ≈ 370
ARL₁ = f(taille du shift)Comparatif pratique
| Carte | ARL₀ | ARL₁ (δ=0.5σ) | ARL₁ (δ=1σ) | ARL₁ (δ=2σ) |
|---|---|---|---|---|
| Shewhart ±3σ | 370 | 155 | 44 | 6.3 |
| Shewhart + 8 WE | ~90 | ~25 | ~11 | 5 |
| CUSUM (K=0.5σ, H=4σ) | 168 | 26 | 8.4 | 3.3 |
| CUSUM (K=0.5σ, H=5σ) | 465 | 38 | 10.4 | 4.0 |
| EWMA (λ=0.05, L=2.5) | ~370 | ~26 | ~11 | ~6 |
| EWMA (λ=0.15, L=2.8) | ~450 | ~43 | ~14 | ~5 |
| EWMA (λ=0.25, L=3.0) | ~500 | ~55 | ~17 | ~5 |
Lecture : CUSUM K=0.5 H=4 a un ARL₁ de 8.4 points pour un shift de 1σ. C’est 5 fois plus rapide que Shewhart seule (ARL₁ = 44).
8. FAQ élèves (10 questions fréquentes)
Q1. CUSUM ou EWMA — laquelle choisir ? Pour un shift brutal (changement de lot), CUSUM. Pour un drift progressif (usure), EWMA. Dans le doute, afficher les deux (c’est ce que fait le didacticiel). ARL₁ sont souvent très proches (moins de 2 points d’écart pour δ=1σ).
Q2. Que faire si mon σ n’est pas stable ? Ré-estimer σ sur un sous-échantillon stable (moving range glissant). Ne jamais utiliser un σ « historique » englobant des périodes de dérive. Si σ est vraiment non-stationnaire, basculer sur des cartes EWMA adaptatives (rare en pratique).
Q3. Combien de points pour initialiser EWMA ? La variance asymptotique est atteinte après ~20 points. Avant, utiliser la formule exacte σ_z[i] = σ · sqrt((λ/(2-λ)) · (1 - (1-λ)^(2i))) qui donne des limites plus étroites au début. C’est ce que fait le didacticiel par défaut.
Q4. Alpha empilé — faut-il vraiment s’en soucier ? Oui si votre atelier arrête la machine à chaque alarme. Non si l’alarme déclenche uniquement une investigation (pas d’arrêt). En pratique : choisir R1+R2+R5+R6 suffit dans 80 % des cas et limite l’alpha à ~0.6 %.
Q5. CUSUM fonctionne-t-elle sur mesures individuelles ? Oui, c’est son domaine de prédilection. Shewhart X (individuelles) est bruitée ; CUSUM lisse par cumulation. Pour sous-groupes (n>1), CUSUM sur moyennes fonctionne aussi — substituer σ/√n dans les formules.
Q6. Que faire si mon processus est auto-corrélé ? Les cartes classiques supposent des mesures indépendantes. Sur processus continus (température, niveau), l’auto-corrélation biaise les ARL. Solution : fit un modèle ARIMA, monitorer les résidus (qui sont blancs). Ou adapter les limites (cartes résiduelles, Alwan-Roberts 1988).
Q7. La règle R7 (hugging) semble illogique — pourquoi détecter « trop de centrage » ? Parce qu’un centrage artificiel est un symptôme de problème : (a) stratification (2 sources qui se compensent), (b) σ surestimé, (c) saisie manipulée (opérateur arrondit vers la cible). Trois pistes à investiguer.
Q8. Peut-on combiner CUSUM et EWMA dans la même carte ? Oui — « Combined Shewhart-CUSUM » ou « Combined Shewhart-EWMA ». Standard en industrie pharma/semi-conducteurs. Afficher les trois courbes superposées. Inconvénient : complexité visuelle, moins parlant pour un régleur.
Q9. Qu’est-ce qu’une carte « résistante » (robuste) ? Carte qui reste fiable sur données non-normales ou avec outliers. Cartes NP (non-paramétriques) utilisent médiane et MAD plutôt que moyenne et σ. Utile en phase 1 quand on ignore la distribution.
Q10. Comment documenter un plan de surveillance SPC ? Inclure : (1) caractéristique mesurée + métrologie, (2) cible + LSL + USL, (3) σ de référence et période d’estimation, (4) carte choisie + paramètres (K, H, λ, L), (5) règles WE retenues, (6) procédure en cas d’alarme (investigation, arrêt, consignation). AIAG SPC 2ᵉ éd. donne le template.
9. Les 6 pièges classiques à éviter
Piège 1 — K trop élevé (CUSUM aveugle)
Symptôme : CUSUM ne déclenche jamais même sur shifts visibles. Cause : K = σ ou plus (on cherche un shift énorme que CUSUM ne détecte plus vite que Shewhart). Parade : K = demi-shift à détecter. Pour shift cible 1σ, K = 0.5σ. Pas plus.
Piège 2 — λ = 0.4+ (EWMA = Shewhart)
Symptôme : EWMA donne quasi les mêmes alertes que Shewhart. Cause : λ trop élevé, le lissage est inefficace. Parade : λ = 0.10-0.20 par défaut. Ne dépasser 0.25 que si on veut explicitement une réactivité Shewhart-like.
Piège 3 — Alpha empilé (trop de règles WE)
Symptôme : arrêts machine fréquents, aucune cause identifiée → les régleurs désactivent les alarmes. Parade : sélectionner 3-4 règles WE (R1, R2, R5, R6) au lieu des 8. ARL₀ remonte à ~250, alpha à ~0.6 %.
Piège 4 — σ surestimé (toutes règles déclenchent)
Symptôme : règles WE se déclenchent en permanence, même en phase stable. Parade : recalculer σ sur période stable via moving range (σ = R̄/d₂, avec d₂(n=2)=1.128). Ne pas prendre σ sur 6 mois englobant des shifts.
Piège 5 — Stratification ignorée (règle R7)
Symptôme : R7 (hugging) se déclenche, responsable ignore en disant « c’est normal, on est bien centré ». Parade : R7 = signal fort. Ventiler les données par source (machine, opérateur, équipe) et refaire les cartes. Si plusieurs distributions apparaissent, traiter chacune séparément.
Piège 6 — Oublier l’auto-corrélation en process continu
Symptôme : carte en permanence en alerte sur température bain ou niveau cuve, alors que le process est « visiblement » stable. Parade : tester l’auto-corrélation (ACF des résidus). Si ρ₁ > 0.3, basculer sur carte résiduelle : fit ARIMA(1,0,0), monitorer les résidus (blancs par construction).
10. QCM 10 questions — corrigé
1. L’ARL₀ d’une carte Shewhart ±3σ vaut : A) 100 — B) 370 ✓ — C) 500 — D) 1000 Explication : ARL₀ = 1/α = 1/0.0027 = 370.
2. Pour détecter un shift de 0.5σ, l’ARL de Shewhart est : A) 10 — B) 44 — C) 155 ✓ — D) 370 Explication : à shift 0.5σ, P(hors limites) ≈ 0.0064, ARL₁ = 1/0.0064 ≈ 156.
3. CUSUM K=0.5σ H=4σ détecte un shift de 1σ en combien de points (ARL₁) ? A) 3 — B) 8.4 ✓ — C) 25 — D) 44 Explication : tables ARL CUSUM, Montgomery ch.9.
4. La règle WE #2 est : A) 1 pt hors 3σ — B) 9 pts du même côté ✓ — C) 6 pts monotones — D) 2/3 en zone A Explication : R2 = 9 consécutifs du même côté, P = 1/512.
5. Pour un drift linéaire, la meilleure carte est : A) Shewhart — B) CUSUM — C) EWMA ✓ — D) Pareto Explication : EWMA lissée suit la dérive progressive, CUSUM adaptée aux shifts brusques.
6. λ = 0.4 dans EWMA signifie : A) Très sensible petits shifts — B) Similaire à Shewhart ✓ — C) Non valide — D) Forte mémoire Explication : λ grand = peu de lissage, EWMA ≈ valeur brute.
7. La règle WE #7 (15 pts en zone C) indique : A) Processus excellent — B) Stratification/σ surestimé ✓ — C) Cycle 24h — D) Shift brutal Explication : trop de centrage = artefact.
8. Si on applique les 8 règles WE simultanément, l’ARL₀ est d’environ : A) 370 — B) 90 ✓ — C) 25 — D) 500 Explication : alpha empilé, Champ-Woodall 1987.
9. K de CUSUM doit être : A) Égal à σ — B) Demi-shift à détecter ✓ — C) 3σ — D) Aléatoire Explication : règle standard Page 1954.
10. Pour recentrer un processus après alerte CUSUM, on doit : A) Ignorer — B) Investiguer + corriger + reset CUSUM à 0 ✓ — C) Doubler H — D) Changer de carte Explication : après correction, remettre C+ et C- à 0 pour redémarrer sur base stable.
11. Références
- Page, E.S. (1954) — “Continuous Inspection Schemes”. Biometrika, 41, 100-115. (Article fondateur CUSUM)
- Roberts, S.W. (1959) — “Control Chart Tests Based on Geometric Moving Averages”. Technometrics, 1, 239-250. (Article fondateur EWMA)
- Western Electric (1956) — Statistical Quality Control Handbook. Western Electric Corporation. (Règles classiques R1-R4)
- Nelson, L.S. (1984) — “The Shewhart Control Chart—Tests for Special Causes”. Journal of Quality Technology, 16, 237-239. (8 règles étendues)
- Champ, C.W., Woodall, W.H. (1987) — “Exact Results for Shewhart Control Charts with Supplementary Runs Rules”. Technometrics, 29, 393-399. (ARL combinés)
- Montgomery, D.C. (2020) — Introduction to Statistical Quality Control, 8ᵉ éd., Wiley. (Référence SPC complet, chapitres 9-10)
- AIAG (2005) — Statistical Process Control (SPC), 2ᵉ éd., Automotive Industry Action Group. (Standard automobile)
- Lucas, J.M., Saccucci, M.S. (1990) — “Exponentially Weighted Moving Average Control Schemes: Properties and Enhancements”. Technometrics, 32, 1-12. (ARL EWMA précis)
12. Aller plus loin
- Didacticiel Capabilité + SPC — carte X̄/R classique + Cp/Cpk.
- Didacticiel R&R — MSA — valider σ avant SPC.
- Didacticiel Tests d’hypothèses — normalité, indépendance.
- Cartes multivariées (T² de Hotelling, MEWMA) — prochain niveau.
- Process continus : cartes résiduelles, Alwan-Roberts 1988.