Guide enseignant — Didacticiel Séries temporelles & Prévision

1. Objectifs pédagogiques

À l’issue de la séance, le participant doit être capable de :

1. Reconnaître les composantes d’une série temporelle (tendance, saisonnalité, cycle, résidu).
2. Décomposer une série par méthode additive, multiplicative, ou STL selon sa structure.
3. Tester la stationnarité avec le test ADF et savoir quand différencier.
4. Lire un ACF / PACF pour identifier les ordres (p, d, q) d’un ARIMA.
5. Choisir le bon modèle : Naïve saisonnier, moyenne mobile, lissage exponentiel (SES, Holt, Holt-Winters), ARIMA, SARIMA.
6. Évaluer correctement un modèle : split train/test, MAPE, RMSE, IC prédiction.
7. Interpréter les résidus : bruit blanc souhaité, détection d’hétéroscédasticité, Ljung-Box.
8. Éviter les 8 pièges classiques (fitter sans stationnariser, overfitting, ignorer la saison, évaluer sur train, etc.).

2. Prérequis

• Notions de statistique descriptive (moyenne, variance, IC).
• Compréhension d’une régression linéaire (voir didacticiel régression).
• Lecture d’un ACF (pas obligatoire — introduit en séance).

Aucun prérequis informatique — le didacticiel tourne dans le navigateur via Pyodide.

3. Plan de séance — 2 heures

Temps	Phase	Contenu
0 – 15 min	Phase 1 — Qu’est-ce qu’une série temporelle ?	Définition, pas régulier, 4 composantes (tendance, saison, cycle, résidu). Différence saison vs cycle. Additif vs multiplicatif (critère de choix). Démo décomposition STL sur EX3.
15 – 35 min	Phase 2 — Stationnarité & différenciation	Définition (moyenne, variance, ACF stables). Test ADF (hypothèse, lecture p-value). Différenciation d=1 (tendance), D=1 (saisonnalité). Démo EX5 (ARIMA 1,1,0).
35 – 55 min	Phase 3 — ACF / PACF	Lecture des corrélogrammes, bandes de confiance ±2/√n. Identification AR(p) via PACF, MA(q) via ACF, mixte via décroissance. Cas bruit blanc (EX4).
55 – 65 min	Pause	—
65 – 90 min	Phase 4 — Modèles	Naïve, naïve saisonnier (baseline !). Moyenne mobile (non prévisionnelle — attention). SES / Holt / Holt-Winters. ARIMA, SARIMA. Tableau de décision modèle vs structure.
90 – 105 min	Phase 5 — Évaluation	Split train/test (jamais shuffle sur série temporelle !). MAPE, RMSE, MAE, AIC. IC prédiction vs IC moyenne. Exercice : EX6 SARIMA horaire.
105 – 115 min	Phase 6 — Cas complet & pièges	EX7 (bris de rupture), EX8 (hétéroscédasticité). Discussion : de la prévision à l’action (stock de sécurité, pilotage énergie, maintenance prédictive).
115 – 125 min	Phase 7 — QCM	QCM 10 questions. Correction plénière.

4. Composantes d’une série (Phase 1 — clé)

Une série temporelle y_t se décompose en :

Modèle additif

y_t = T_t + S_t + R_t

Tendance T_t + Saison S_t + Résidu R_t. Amplitude des variations saisonnières constante dans le temps.

Modèle multiplicatif

y_t = T_t × S_t × R_t

L’amplitude de la saisonnalité grandit avec le niveau. Typique : consommation énergie d’un site qui grossit, ventes d’un produit en croissance.

Critère de choix rapide

Si l’écart-type glissant augmente avec la moyenne → multiplicatif. Sinon additif. Astuce : transformer log(y) et tester l’additif ; si ça fonctionne, c’est que la série est multiplicative.

Saison vs Cycle

• Saison : période fixe et connue (7 jours, 12 mois, 24h). Prévisible.
• Cycle : période variable (cycle économique 3-10 ans, cycle usure machine). Plus difficile à modéliser.

Confondre saison et cycle est le piège n°1 des débutants.

5. Test ADF — lecture pratique (Phase 2)

Augmented Dickey-Fuller teste la présence d’une racine unitaire.

• H0 : la série a une racine unitaire (non stationnaire)
• H1 : pas de racine unitaire (stationnaire)

Lecture :

• p-value < 0.05 → rejet H0 → série stationnaire → OK pour ARMA
• p-value ≥ 0.05 → on ne rejette pas H0 → série non stationnaire → différencier

Protocole :

1. Tester ADF sur y_t brut
2. Si non stationnaire → différencier (d = d + 1) et re-tester
3. Stopper dès que stationnaire (typiquement d = 1 ou 2)
4. Si saison : tester aussi sur différence saisonnière (D = 1)

6. Lecture ACF / PACF (Phase 3)

Modèle	ACF	PACF
AR(p)	décroît lentement	coupe après lag p
MA(q)	coupe après lag q	décroît lentement
ARMA(p,q)	décroît	décroît
Bruit blanc	tout dans les bandes	tout dans les bandes

Bandes de confiance : ±1.96/√n pour α=5 %. Un pic qui sort = corrélation significative.

Piège classique : un seul pic à lag 3 hors bandes ne signifie pas AR(3). Regarder l’ensemble du pattern.

7. Choix du modèle — arbre de décision (Phase 4)

Y a-t-il une saisonnalité ?
│
├── Non ──► Y a-t-il une tendance ?
│          │
│          ├── Non ──► Naïve / Moyenne globale / SES
│          │
│          └── Oui ──► Holt (lissage double) ou ARIMA(p,1,q)
│
└── Oui ──► La saison est-elle additive ou multiplicative ?
           │
           ├── Additive ──► Holt-Winters additif ou SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s
           │
           └── Multiplicative ──► Holt-Winters multiplicatif
                                  (SARIMA sur log(y))

Règle d’or : toujours comparer au naïve saisonnier (y_t = y_{t-s}). S’il bat votre modèle complexe, c’est votre modèle qui est mauvais.

8. Évaluation — split et métriques (Phase 5)

Split train / test

• Jamais de shuffle sur série temporelle.
• Split chronologique : 80 % train (début), 20 % test (fin).
• Validation rolling (expanding window) pour modèles critiques.

Métriques

Métrique	Formule	Bon pour	Mauvais pour
MAPE	Σ	y-ŷ	/
RMSE	√(Σ(y-ŷ)²/n)	pénaliser gros écarts	unités métier
MAE	Σ	y-ŷ	/n
AIC	2k - 2ln(L)	sélection modèle	comparaison cross-famille

IC prédiction vs IC moyenne

• IC moyenne : plage où se situe la vraie valeur moyenne de y (étroit)
• IC prédiction : plage où se situera une observation future (large)

Pour du pilotage opérationnel (stock, capacité) → IC prédiction. Pour l’analyse statistique → IC moyenne.

9. FAQ élèves (10 questions fréquentes)

Q1. Qu’est-ce qui différencie une saisonnalité d’un cycle ? La saisonnalité a une période fixe et connue (7 jours, 12 mois). Le cycle a une période variable (cycle économique, cycle usure). Les modèles ARIMA gèrent la saison explicitement ; les cycles sont capturés par les composantes stochastiques.

Q2. Pourquoi différencier ? Ne peut-on pas juste modéliser la tendance ? On peut : régression linéaire avec tendance fonctionne sur tendance déterministe. Mais si la tendance est stochastique (random walk), la régression donne des IC fallacieux (phénomène de régression fallacieuse de Granger & Newbold 1974). La différenciation est robuste aux deux cas.

Q3. Comment choisir p, d, q pour un ARIMA ?

1. Déterminer d par test ADF (d=1 ou 2 typique)
2. Lire ACF/PACF sur la série différenciée
3. Essayer plusieurs (p, q) autour du signal et sélectionner par AIC
4. Vérifier résidus (ACF dans les bandes, Ljung-Box p>0.05)

Q4. Quelle différence entre Prophet et SARIMA ? Prophet (Facebook 2017) = décomposition additive explicite (tendance linéaire par morceaux + saisonnalités Fourier + holidays). Robuste aux données manquantes, facile à paramétrer. SARIMA = modèle statistique classique, plus rigoureux théoriquement, meilleures IC, mais plus sensible au pré-traitement. Pour du production stable, SARIMA ; pour du prototypage rapide avec vacances/events, Prophet.

Q5. Quelle longueur d’historique minimum ?

• Sans saison : 30 points minimum, 100+ recommandé
• Saison mensuelle (s=12) : 3 ans minimum (36 points) pour un SARIMA, 5 ans idéal
• Saison hebdo (s=7) : 8 semaines minimum, 3 mois idéal

Q6. Mes résidus ont encore de l’autocorrélation — c’est grave ? Oui. Le modèle n’a pas capturé toute la structure. Soit ordre p/q insuffisant, soit saisonnalité manquante. Test Ljung-Box : si p < 0.05 → résidus auto-corrélés → modèle à revoir.

Q7. Peut-on prédire très loin dans le futur ? Non. L’IC de prédiction s’élargit comme √h (pour Holt, ARIMA stables). Au-delà d’un horizon égal à 1× la saison, la prévision est souvent sans valeur opérationnelle.

Q8. Mon MAPE train est 2 % mais mon MAPE test est 15 % — qu’est-ce qui se passe ? Overfitting. Votre modèle a appris le bruit du train. Solutions : simplifier (moins de paramètres), régulariser, augmenter l’historique, passer à un modèle plus robuste (Holt-Winters au lieu de SARIMA complexe).

Q9. Faut-il normaliser/standardiser avant de fitter ? Pour lissage exponentiel et ARIMA : non, les paramètres s’adaptent à l’échelle. Pour ML (LSTM, gradient boosting) : oui, standardiser améliore la convergence.

Q10. Comment gérer les données manquantes ?

1. Vérifier si elles sont informatives (panne = arrêt, pas NaN)
2. Imputer par interpolation linéaire si < 5 % de données manquantes
3. Refitter en marquant les points manquants si > 5 %
4. Si pattern de manquants périodique (weekend), le modéliser explicitement

10. Les 8 pièges classiques à éviter

Piège 1 — Fitter sans stationnariser

Symptôme : IC prédiction fous, paramètres qui dérivent selon la fenêtre. Parade : test ADF systématique avant ARMA. Différencier jusqu’à stationnarité.

Piège 2 — Overfitting par excès de paramètres

Symptôme : MAPE train <1 %, MAPE test >10 %. Modèle ARIMA(5,2,5)(3,1,3)12 sur 60 points. Parade : AIC/BIC favorise la parcimonie. Règle empirique : p+q+P+Q ≤ n/20.

Piège 3 — Fitter sur tout puis évaluer sur le passé

Symptôme : MAPE incroyable → espoir → déploiement → échec. Parade : split chronologique train/test. Jamais de shuffle. Rolling validation pour modèles critiques.

Piège 4 — Ignorer la saisonnalité

Symptôme : résidus fortement auto-corrélés à lag saisonnier (7, 12, 24). Parade : détecter la saison par inspection visuelle + ACF. Si pic ACF à lag s → saisonnalité de période s.

Piège 5 — Confondre additif et multiplicatif

Symptôme : prévisions saisonnières correctes au début, deviennent fausses à mesure que le niveau change. Parade : observer l’amplitude saisonnière vs niveau. Si elle grandit → multiplicatif (ou log-additif).

Piège 6 — Moyenne mobile pour prévoir

Symptôme : la moyenne mobile ne prévoit pas au-delà du bord de la fenêtre. Beaucoup la confondent avec un modèle prédictif. Parade : la MA est un outil de lissage descriptif, pas un modèle. Pour prévoir, utiliser SES / Holt / ARIMA.

Piège 7 — Ignorer un bris de rupture

Symptôme : nouvelle machine installée → niveau change brutalement. Fit sur toute la série donne une tendance fictive. Parade : toujours regarder la série brute avant tout fit. Si bris → fitter sur la partie post-rupture.

Piège 8 — IC prédiction non calibrés (hétéroscédasticité)

Symptôme : variance du bruit qui augmente dans le temps. IC 95 % affiché mais réel 60 %. Parade : tracer résidus vs temps. Si cône qui s’ouvre → hétéroscédasticité. Action : transformer (log, racine) ou modèle GARCH.

11. QCM d’évaluation (10 questions)

12. Références

• Box, G. E. P. & Jenkins, G. M. (1970) — Time Series Analysis: Forecasting and Control. Référence fondatrice (ARIMA).
• Hyndman, R. J. & Athanasopoulos, G. (2021) — Forecasting: Principles and Practice, 3e éd. Disponible gratuitement : https://otexts.com/fpp3/
• Brockwell, P. J. & Davis, R. A. (2016) — Introduction to Time Series and Forecasting, Springer. Pour la théorie.
• Cleveland, R. B., Cleveland, W. S., McRae, J. E. & Terpenning, I. (1990) — STL: A Seasonal-Trend Decomposition Procedure Based on Loess, J. Off. Stat.
• Taylor, S. J. & Letham, B. (2018) — Forecasting at Scale. Introduction de Prophet, The American Statistician.